第 2 章 数字图像基础

本章概括

本章介绍数字图像的底层基础，包括视觉感知、光与电磁波谱、图像获取、采样与量化、像素邻接关系、距离度量、图像基本运算和概率方法。这些概念是后续增强、滤波、分割和识别算法的基础。

2.1 视觉感知要素

人眼视觉系统决定了图像处理结果的主观评价。亮度、对比度、空间分辨率和颜色感知都会影响观察效果。PPT 中关于视觉错觉和亮度适应的图说明：同一灰度值在不同背景下会产生不同视觉感受，因此图像增强不能只看像素值，还要考虑视觉感知。

亮度适应说明人眼对绝对亮度不敏感，而对局部对比度更敏感。数字图像处理中常利用这一点，通过对比度拉伸、直方图均衡等方法增强可见细节。

2.2 光和电磁波谱

光是电磁波的一部分，可见光只占电磁波谱的很小范围。不同成像系统可以利用不同波段，如 X 射线用于医学影像，红外用于夜视和热成像，微波用于雷达遥感。

光子能量与频率关系为：

$$ E=h\nu $$

其中 $E$ 为光子能量，$h$ 为普朗克常数，$\nu$ 为频率。频率越高，单个光子的能量越高。

波长与频率满足：

$$ \lambda=\frac{c}{\nu} $$

其中 $\lambda$ 为波长，$c$ 为光速。该关系用于理解不同波段成像的物理差异。

2.3 图像感知和获取

图像获取通常经历“照射源照射目标、目标反射或透射能量、传感器接收能量、数字化输出图像”的过程。单个传感器可通过扫描形成二维图像，传感器条带和传感器阵列可直接获取二维数据。

图示说明

图像获取示意图强调两个关键环节：成像能量源和传感器响应。若照明不足或传感器噪声较大，后续图像会出现低对比度、噪声或模糊。

2.4 图像采样和量化

连续图像数字化包括采样和量化。采样决定空间坐标离散化程度，量化决定灰度值离散化程度。

图像存储量为：

$$ b=M\times N\times k $$

其中 $M,N$ 为图像尺寸，$k$ 为每个像素的比特数，$b$ 为存储总比特数。当 $M=N$ 时，$b=N^2k$。

采样间隔过大会造成空间细节丢失和混叠；量化级数过少会出现伪轮廓。提高空间分辨率可以保留细节，提高灰度分辨率可以改善灰度过渡。

2.5 像素间关系

像素关系是区域分析、连通域标记和形态学处理的基础。

邻域与邻接

对像素 $p=(x,y)$：

• 4 邻域 $N_4(p)$ 包含上、下、左、右四个像素。
• 对角邻域 $N_D(p)$ 包含四个对角像素。
• 8 邻域 $N_8(p)=N_4(p)\cup N_D(p)$。

邻接不仅要求空间相邻，还要求像素灰度属于指定集合 $V$。因此 m 邻接用于减少 8 邻接可能导致的连接歧义。

通路与连通

从 $p$ 到 $q$ 的通路是一个像素序列，相邻像素之间满足指定邻接关系。若两个像素之间存在通路，则称它们连通。连通性是分割和连通域提取的基础。

距离度量

欧氏距离为：

$$ D_e(p,q)=\sqrt{(x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2} $$

它表示两点间的直线距离。

城市街区距离为：

$$ D_4(p,q)=|x_p-x_q|+|y_p-y_q| $$

它对应 4 邻接下的最短路径长度。

棋盘距离为：

$$ D_8(p,q)=\max(|x_p-x_q|,\ |y_p-y_q|) $$

它对应 8 邻接下的最短路径长度。

2.6 图像基本操作

2.6.1 阵列操作

阵列操作直接作用于像素矩阵，如访问像素、截取子图、改变图像尺寸或通道。它是所有算法实现的基础。

2.6.2 逻辑操作

逻辑操作包括与、或、非、异或，常用于二值图像处理。例如用掩膜保留目标区域，用逻辑与删除背景。

2.6.3 算术操作

图像加法可用于叠加、平均降噪；减法可用于变化检测；乘法常用于掩膜处理；除法可用于校正非均匀照明。

带噪图像模型常写为：

$$ g(x,y)=f(x,y)+\eta(x,y) $$

其中 $f(x,y)$ 为原图，$\eta(x,y)$ 为噪声，$g(x,y)$ 为观测图像。多幅同场景图像求平均可以降低随机噪声。

2.6.4 集合与逻辑操作

二值图像可看成像素集合，因此集合并、交、差、补与逻辑运算对应。形态学图像处理正是建立在集合观点之上。

2.6.5 空间操作

空间操作包括单像素变换、邻域处理和几何变换。邻域处理常通过模板或卷积核完成，几何变换用于平移、旋转、缩放和配准。

仿射变换可写成齐次坐标形式：

$$ \begin{bmatrix} x\ y\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_x\ a_{21} & a_{22} & t_y\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\ v\ 1 \end{bmatrix} $$

矩阵中的线性部分控制旋转、缩放和剪切，$t_x,t_y$ 控制平移。

2.6.6 图像变换

图像变换将图像从空间域转换到其他域，例如傅里叶变换用于频率分析，余弦变换用于压缩，小波变换用于多尺度分析。

2.6.7 概率方法

概率方法用于描述图像灰度分布、噪声模型和统计特征。直方图可看成灰度概率分布的估计，是直方图均衡、阈值分割和统计识别的基础。