第 4 章 频率域滤波
本章概括
本章从傅里叶变换出发介绍频率域图像处理，包括采样、混叠、二维 DFT、频谱性质、频域滤波流程、低通和高通滤波、同态滤波、带阻/带通和陷波滤波。重点是理解频率与图像结构的关系：低频对应缓慢变化，高频对应边缘、噪声和细节。
4.1 傅立叶变换基础
傅里叶分析把信号分解为不同频率的正弦/余弦分量。图像中平滑区域主要对应低频，边缘、纹理和噪声主要对应高频。
一维连续傅里叶变换为：
$$ F(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi\mu t},dt $$
反变换为：
$$ f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\mu)e^{j2\pi\mu t},d\mu $$
$F(\mu)$ 表示频率 $\mu$ 上的幅度和相位信息。
取样与混淆
采样频率不足会产生混叠，高频成分会错误地表现为低频成分。PPT 中采样和混淆示意图说明：图像中细密纹理、周期条纹和锐利边缘都容易出现混叠。
防止混叠的基本方法是在采样前进行低通滤波，并保证采样频率满足奈奎斯特条件。
4.1 离散傅立叶变换 DFT
二维 DFT 为：
$$ F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y) e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)} $$
二维反 DFT 为：
$$ f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v) e^{j2\pi(ux/M+vy/N)} $$
其中 $(x,y)$ 是空间坐标，$(u,v)$ 是频率坐标。频谱中心化通常通过乘以 $(-1)^{x+y}$ 实现，使低频移动到频谱中心。
频谱图说明
频谱图中的亮点表示该频率成分强。中心区域通常是低频，远离中心为高频。若图像有明显周期纹理，频谱中会出现对称亮点；若图像边缘强，高频能量会增加。
频率域滤波基础
频域滤波流程为：
- 对输入图像 $f(x,y)$ 进行必要填充，减少周期卷积带来的环绕误差。
- 计算 DFT 得到 $F(u,v)$。
- 构造滤波器 $H(u,v)$。
- 相乘得到 $G(u,v)=H(u,v)F(u,v)$。
- 反变换得到输出图像 $g(x,y)$，再裁剪回原尺寸。
核心公式为：
$$ G(u,v)=H(u,v)F(u,v) $$
$H(u,v)$ 决定保留或抑制哪些频率成分。
低通滤波器
低通滤波器保留低频、抑制高频，主要用于平滑和去噪。
理想低通滤波器为：
$$ H(u,v)= \begin{cases} 1,&D(u,v)\le D_0\ 0,&D(u,v)>D_0 \end{cases} $$
$D_0$ 是截止频率。理想低通边界突变，容易产生振铃现象。
Butterworth 低通滤波器为：
$$ H(u,v)=\frac{1}{1+\left[D(u,v)/D_0\right]^{2n}} $$
$n$ 是阶数，阶数越高越接近理想低通，振铃风险也更大。
高斯低通滤波器为：
$$ H(u,v)=e^{-D^2(u,v)/(2D_0^2)} $$
高斯滤波器过渡平滑，通常不会产生明显振铃。
高通滤波器
高通滤波器抑制低频、保留高频，用于边缘增强和锐化。低通滤波器 $H_{LP}$ 对应的高通形式可写为：
$$ H_{HP}(u,v)=1-H_{LP}(u,v) $$
理想高通边界突变，可能导致振铃；Butterworth 高通可调过渡陡峭程度；高斯高通过渡最平滑。
效果图说明
PPT 中 $D_0=30,60,100$ 的高通结果体现了截止频率的影响：$D_0$ 小时保留更多高频，边缘和噪声都更明显；$D_0$ 增大时高通范围变窄，增强效果减弱。
同态滤波
图像可建模为照明分量和反射分量的乘积：
$$ f(x,y)=i(x,y)r(x,y) $$
照明 $i(x,y)$ 通常变化缓慢，主要对应低频；反射 $r(x,y)$ 与物体细节相关，主要对应高频。取对数后：
$$ z(x,y)=\ln f(x,y)=\ln i(x,y)+\ln r(x,y) $$
再进行傅里叶变换并用滤波器处理：
$$ S(u,v)=H(u,v)Z(u,v) $$
最后反变换并指数还原。其作用是压低低频照明不均，同时增强高频细节。
带阻、带通与陷波滤波器
带阻滤波器抑制某一频带，带通滤波器保留某一频带。陷波滤波器用于去除周期噪声，通常在频谱中针对对称亮点设置抑制区域。
陷波滤波流程：
- 观察频谱，定位周期噪声对应的对称峰。
- 在峰值附近构造陷波阻止滤波器。
- 频域相乘后反变换。
- 检查图像中周期条纹是否减弱，同时避免损伤正常结构。