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# 第 3 章 灰度变换与空域滤波

# 本章概括

本章讨论空间域图像增强。内容包括灰度变换基础、常见灰度映射、直方图处理、直方图均衡与规定化、空间滤波基础、平滑滤波和锐化滤波。重点是理解不同增强方法如何改变像素灰度或邻域结构。

# 灰度变换与空间滤波基础

空间域处理直接在像素坐标上操作，可表示为：

g(x,y)=T[f(x,y)]g(x,y)=T[f(x,y)]

其中 f(x,y)f(x,y) 是输入图像，g(x,y)g(x,y) 是输出图像，TT 是对单像素或邻域的处理算子。当邻域大小为 1×11\times 1 时，处理退化为灰度变换。

灰度变换可写为：

s=T(r)s=T(r)

其中 rr 为输入灰度，ss 为输出灰度。它主要用于调整亮度、对比度或突出特定灰度范围。

# 常见灰度变换

# 图像求反

图像反转变换为：

s=L−1−rs=L-1-r

其中 LL 是灰度级数。反转常用于增强暗背景中亮细节，类似底片效果。

# 对数变换

对数变换为：

s=clog⁡(1+r)s=c\log(1+r)

其中 cc 为比例常数。该变换扩展低灰度、压缩高灰度，常用于显示傅里叶频谱这类动态范围很大的图像。

# 指数变换与伽马校正

伽马变换为：

s=crγs=cr^\gamma

当 γ<1\gamma<1 时，输出图像整体变亮；当 γ>1\gamma>1 时，输出图像整体变暗。显示器和相机常用伽马校正补偿非线性响应。

# 分段线性变换

分段线性变换包括对比度拉伸、灰度级切分和比特平面分割。对比度拉伸把灰度范围扩展到更宽区间；灰度级切分突出某一灰度范围；比特平面分割把灰度值按二进制位拆分，便于观察不同位平面对图像细节的贡献。

# 灰度直方图

直方图统计每个灰度级出现的频数或概率：

p(rk)=nkMNp(r_k)=\frac{n_k}{MN}

其中 rkr_k 是第 kk 个灰度级，nkn_k 是该灰度级像素数，MNMN 是像素总数。直方图反映图像亮度分布，但不包含空间位置信息。

# 直方图均衡

连续形式的直方图均衡变换为：

s=T(r)=(L−1)∫0rpr(w) dws=T(r)=(L-1)\int_0^r p_r(w)\,dw

其中 pr(w)p_r(w) 为输入灰度概率密度。该变换利用累计分布函数把灰度分布尽量拉平，从而增强整体对比度。

离散形式为：

sk=(L−1)∑j=0kpr(rj)s_k=(L-1)\sum_{j=0}^{k}p_r(r_j)

其中 sks_k 是灰度 rkr_k 映射后的结果。均衡后图像细节通常更明显，但可能放大噪声或使局部区域过增强。

# 直方图规定化

规定化又称直方图匹配，目标是让输出图像具有指定直方图。其基本思想是先对输入图像均衡得到 s=T(r)s=T(r)，再根据目标分布 G(z)G(z) 求逆映射：

z=G−1(s)=G−1[T(r)]z=G^{-1}(s)=G^{-1}[T(r)]

其中 zz 是最终输出灰度。规定化比均衡更可控，适合把图像调整到某种期望风格或亮度分布。

# 空间滤波基础

空间滤波使用模板在图像上滑动，输出像素由邻域像素加权计算：

g(x,y)=∑s=−aa∑t=−bbw(s,t)f(x+s,y+t)g(x,y)=\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^{b}w(s,t)f(x+s,y+t)

其中 w(s,t)w(s,t) 为滤波模板权重。模板权重决定滤波器是平滑、锐化还是检测边缘。

# 图示说明

模板滤波示意图展示了卷积核逐像素滑动的过程：每个输出像素由输入图像中对应邻域的加权和得到。核越大，参与计算的邻域越大，平滑效果越强，但边缘也越容易模糊。

# 平滑空间滤波器

# 均值滤波

均值滤波用邻域平均值替代中心像素，适合降低随机噪声，但会模糊边缘。n×nn\times n 均值模板可写为：

w(s,t)=1n2w(s,t)=\frac{1}{n^2}

窗口 nn 越大，平滑越强，细节损失也越明显。

# 加权均值与高斯滤波

高斯滤波给中心像素更大权重，距离中心越远权重越小。二维高斯函数为：

G(x,y)=12πσ2exp⁡[−x2+y22σ2]G(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left[-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right]

σ\sigma 越大，平滑范围越宽，噪声抑制更强，但边缘模糊也更明显。

# 中值滤波

中值滤波用邻域灰度中值替代中心像素，对椒盐噪声尤其有效。与均值滤波相比，它能更好地保留边缘，因为极端噪声点不会直接参与平均。

# 锐化空间滤波器

锐化强调灰度突变，用于增强边缘、细线和细节。

# 一阶微分与梯度

梯度幅值可表示为：

∇f=[GxGy],∣∇f∣≈∣Gx∣+∣Gy∣\nabla f=\begin{bmatrix}G_x\\G_y\end{bmatrix},\qquad |\nabla f|\approx |G_x|+|G_y|

GxG_x 和 GyG_y 分别表示水平和垂直方向灰度变化。梯度越大，边缘可能性越高。

Sobel 算子的常用模板为：

Sx=[−101−202−101],Sy=[−1−2−1000121]S_x= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad S_y= \begin{bmatrix} -1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}

SxS_x 检测垂直边缘，SyS_y 检测水平边缘。

# 拉普拉斯算子

拉普拉斯是二阶微分算子：

∇2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)\nabla^2 f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)

常用模板为：

[0101−41010]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & -4 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

拉普拉斯对细节和噪声都敏感，实际增强时常先平滑再锐化。增强公式可写为：

g(x,y)=f(x,y)−∇2f(x,y)g(x,y)=f(x,y)-\nabla^2 f(x,y)

其中 g(x,y)g(x,y) 为锐化后的图像。