# 第 4 章频率域滤波

# 本章概括

本章从傅里叶变换出发介绍频率域图像处理，包括采样、混叠、二维 DFT、频谱性质、频域滤波流程、低通和高通滤波、同态滤波、带阻/带通和陷波滤波。重点是理解频率与图像结构的关系：低频对应缓慢变化，高频对应边缘、噪声和细节。

# 4.1 傅立叶变换基础

傅里叶分析把信号分解为不同频率的正弦/余弦分量。图像中平滑区域主要对应低频，边缘、纹理和噪声主要对应高频。

一维连续傅里叶变换为：

$F(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi\mu t}\,dt$

反变换为：

$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\mu)e^{j2\pi\mu t}\,d\mu$

$F(\mu)$ 表示频率 $\mu$ 上的幅度和相位信息。

# 取样与混淆

采样频率不足会产生混叠，高频成分会错误地表现为低频成分。PPT 中采样和混淆示意图说明：图像中细密纹理、周期条纹和锐利边缘都容易出现混叠。

防止混叠的基本方法是在采样前进行低通滤波，并保证采样频率满足奈奎斯特条件。

# 4.1 离散傅立叶变换 DFT

二维 DFT 为：

$F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y) e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)}$

二维反 DFT 为：

$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v) e^{j2\pi(ux/M+vy/N)}$

其中 $(x,y)$ 是空间坐标， $(u,v)$ 是频率坐标。频谱中心化通常通过乘以 $(-1)^{x+y}$ 实现，使低频移动到频谱中心。

# 频谱图说明

频谱图中的亮点表示该频率成分强。中心区域通常是低频，远离中心为高频。若图像有明显周期纹理，频谱中会出现对称亮点；若图像边缘强，高频能量会增加。

# 频率域滤波基础

频域滤波流程为：

对输入图像 $f(x,y)$ 进行必要填充，减少周期卷积带来的环绕误差。
计算 DFT 得到 $F(u,v)$ 。
构造滤波器 $H(u,v)$ 。
相乘得到 $G(u,v)=H(u,v)F(u,v)$ 。
反变换得到输出图像 $g(x,y)$ ，再裁剪回原尺寸。

核心公式为：

$G(u,v)=H(u,v)F(u,v)$

$H(u,v)$ 决定保留或抑制哪些频率成分。

# 低通滤波器

低通滤波器保留低频、抑制高频，主要用于平滑和去噪。

理想低通滤波器为：

$H(u,v)= \begin{cases} 1,&D(u,v)\le D_0\\ 0,&D(u,v)>D_0 \end{cases}$

$D_0$ 是截止频率。理想低通边界突变，容易产生振铃现象。

Butterworth 低通滤波器为：

$H(u,v)=\frac{1}{1+\left[D(u,v)/D_0\right]^{2n}}$

$n$ 是阶数，阶数越高越接近理想低通，振铃风险也更大。

高斯低通滤波器为：

$H(u,v)=e^{-D^2(u,v)/(2D_0^2)}$

高斯滤波器过渡平滑，通常不会产生明显振铃。

# 高通滤波器

高通滤波器抑制低频、保留高频，用于边缘增强和锐化。低通滤波器 $H_{LP}$ 对应的高通形式可写为：

$H_{HP}(u,v)=1-H_{LP}(u,v)$

理想高通边界突变，可能导致振铃；Butterworth 高通可调过渡陡峭程度；高斯高通过渡最平滑。

# 效果图说明

PPT 中 $D_0=30,60,100$ 的高通结果体现了截止频率的影响： $D_0$ 小时保留更多高频，边缘和噪声都更明显； $D_0$ 增大时高通范围变窄，增强效果减弱。

# 同态滤波

图像可建模为照明分量和反射分量的乘积：

$f(x,y)=i(x,y)r(x,y)$

照明 $i(x,y)$ 通常变化缓慢，主要对应低频；反射 $r(x,y)$ 与物体细节相关，主要对应高频。取对数后：

$z(x,y)=\ln f(x,y)=\ln i(x,y)+\ln r(x,y)$

再进行傅里叶变换并用滤波器处理：

$S(u,v)=H(u,v)Z(u,v)$

最后反变换并指数还原。其作用是压低低频照明不均，同时增强高频细节。

# 带阻、带通与陷波滤波器

带阻滤波器抑制某一频带，带通滤波器保留某一频带。陷波滤波器用于去除周期噪声，通常在频谱中针对对称亮点设置抑制区域。

陷波滤波流程：

观察频谱，定位周期噪声对应的对称峰。
在峰值附近构造陷波阻止滤波器。
频域相乘后反变换。
检查图像中周期条纹是否减弱，同时避免损伤正常结构。

计算机视觉数字图像处理

# 第 4 章 频率域滤波